Zahlensystem

Zah|len|sys|tem 〈n. 11〉 System, nach dem Zahlen geordnet u. gegliedert werden, z. B. das Dezimalsystem

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Zah|len|sys|tem, das:

System von Zahlzeichen u. Regeln für die Darstellung von Zahlen.

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I

Zahlensystem,

 

die Gesamtheit der zur Darstellung von Zahlen verwendeten Zahlzeichen (Ziffern) und Regeln. Frühe Kulturen kannten v. a. additive Zahlensysteme (Additionssysteme), in denen sich die dargestellte Zahl als Summe der ihren Ziffern zugeordneten Werte ergibt. In Stellenwertsystemen oder Positionssystemen hängt der Wert einer Ziffer von ihrer Stellung in der Zahl ab.

 

Eine einfache Zahlendarstellung ist die durch Hintereinandersetzen (Reihung) und Zusammenfassen (Bündelung) von Zählstrichen (je fünf oder zehn Zählstriche werden durch einen Querstrich zu einem Bündel zusammengefasst). Ein derartiges Additionssystem bilden etwa die in Hölzer (Kerbholz) eingeritzten Kerbzahlen. Ein weiteres additives Zahlensystem stellen die lange Zeit in vielen Kulturen verwendeten Fingerzahlen dar. Weiterentwickelte Additionssysteme mit unterschiedlichen Zahlzeichen für die verschiedenen Zehnerpotenzen waren das ägyptische Zahlensystem (Hieroglyphensystem), das attische (herodianische) Zahlensystem der Griechen mit Δ = 10, H = 100, X = 1 000, M = 10 000 (die Einer wurden durch Striche angegeben, eine Fünferbündelung durch ein vorgesetztes Γ beziehungsweise Π) und das Zahlensystem der römischen Ziffern (mit zusätzlichen Zahlzeichen für die Fünferbündelungen). Semitischen Ursprungs sind die zu den Additionssystemen zählenden alphabetischen Zahlensysteme oder Zahlschriften, bei denen bis zu 27 Buchstaben eines Alphabets (Episemon) je neun Einer, Zehner und Hunderter darstellten (z. B. bei den Phönikern und Hebräern sowie beim milesischen Zahlensystem der Griechen, wo außerdem Einerbuchstaben mit einem davor gesetzten Komma beziehungsweise dahinter gesetztem Punkt oder zwei darüber gesetzten Punkten die Tausender beziehungsweise Zehntausender anzeigten). Die Babylonier kamen in ihrem Sechziger- oder Sexagesimalsystem (einem Stellenwertsystem) mit zwei Zahlzeichen aus, die bis zu neun- beziehungsweise fünfmal aneinander gereiht wurden.

 

In Mesoamerika hatten die Maya das differenzierteste Zahlensystem. Das System war, wie in ganz Mesoamerika, vigesimal (Vigesimalsystem) mit einer Unregelmäßigkeit, und positional. Die Stellenwertschreibweise (basierend auf der Zahl 20) ermöglichte es den Maya, in ihrer Hieroglyphenschrift eine beliebig hohe Zahl auszudrücken. Die meisten Zahlenangaben benennen vergangene Tage innerhalb des Kalenders, sie wurden außerdem zur Zählung der einzelnen Herrscher innerhalb der Dynastieabfolge und für Gefangene verwendet. Andere Völker in Mesoamerika verwendeten Punkte, um die Zahlen 1-19 auszudrücken; die Azteken benutzten für höhere Werte in ihren Tributlisten als weitere Symbole ein wimpelförmiges Zeichen für 20, eine Feder für 400, ein Täschchen mit Räucherpillen für 8 000.

 

In den andinen Hochkulturen verwendeten die Inka Knotenschnüre (Quipu) zur Übermittlung zahlenmäßig fassbarer Daten; die einzelnen Knoten einer Schnur entsprachen gemäß ihrer Stellung Zahlenwerten im Dezimalsystem. - Bei den Chinesen gab es vier Zahlschriften (chinesische Ziffern).

 

Die Ziffern unseres heutigen Dezimalsystems entstanden in Indien (indische Mathematik) und gelangten durch Vermittlung der Araber über Spanien nach Westeuropa (arabische Ziffern).

 

II

Zahlensystem

 

(Stellenwertsystem), allgemein ein System von Regeln, durch das Ziffern zu Zahlen zusammengesetzt werden. Die verwendeten Ziffern sind dabei kulturhistorisch unterschiedlich, was zu entsprechenden unterschiedlichen Zahlensystemen führt (z. B. die römischen Zahlen oder das Zahlensystem der Maya).

 

Das heute meistverwendete Zahlensystem ist das Dezimalsystem, das auf den zehn arabischen Ziffern Null bis Neun beruht. Aus diesen Ziffern werden Zahlen gebildet, indem man die Ziffern entsprechend ihrer Wertigkeit (dem »Stellenwert«) nebeneinander schreibt. Traditionell steigt dabei die Wertigkeit einer Zahl, beginnend bei null, von rechts nach links an.

 

Die Position einer Ziffer wird dabei indirekt mit einem Wert verknüpft: Die Zahlenbasis liefert, potenziert mit der Wertigkeit, den Faktor, mit dem man die betreffende Ziffer (die sog. Mantisse; Gleitkomma) multiplizieren muss, um ihren korrekten Wert zu erhalten. In mathematischer Schreibweise lautet dies: Mantisse × Basis^Wertigkeit. Da die am weitesten rechts stehende Zahl die Wertigkeit null besitzt, muss sie mit 10⁰ = 1 multipliziert werden, diese Ziffern behalten ihren Wert demnach bei. Die darauf folgende Ziffer wird mit der Zahl 10¹ = 10 multipliziert usw.

 

Dieses System der Wertigkeiten wird auch bei anderen Zahlensystemen eingesetzt, etwa den in der EDV benutzten Binärzahlen (Basis 2), den Oktalzahlen (Oktalsystem, Basis 8) oder den Hexadezimalzahlen (Basis 16). Allerdings muss man bei Zahlensystemen, deren Basis größer als zehn ist, wie den Hexadezimalzahlen, zusätzliche Zeichen hinzufügen, z. B. die Buchstaben des Alphabets. Um Zahlen in unterschiedlichen Zahlensystemen voneinander zu unterschieden, fügt man bisweilen die Basis als tiefgestellte Indexziffer an die Zahl an. Die Zahl 4712₅ wäre damit eine Zahl zur Basis fünf. In der EDV verwendet man meistens eine andere Darstellungsweise, bei der ein Kennbuchstabe für das jeweilige Zahlensystem hinter die Zahl geschrieben wird (bisweilen, wie auch von DIN gefordert, schreibt man korrekterweise die Kennung vor die Zahl). Damit wird z. B. die Ziffernfolge 916h als Hexadezimalzahl gekennzeichnet.

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Zah|len|sys|tem, das: System von Zahlzeichen u. Regeln für die Darstellung von Zahlen: „Duales“ oder „dyadisches“ Z. im Gegensatz zu unserem „dezimalen“ Z., das auf den Potenzen von 10 aufbaut (Noelle, Umfragen 218).